由python运算π的值深入python中科学计算的实现

π是一个无数人追随的真正的神奇数字。我不是很清楚一个永远重复的无理数的迷人之处。在我看来,我乐于计算π,也就是计算π的值。因为π是一个无理数,它是无限的。这就意味着任何对π的计算都仅仅是个近似值。如果你计算100位,我可以计算101位并且更精确。迄今为止,有些人已经选拔出超级计算机来试图计算最精确的π。一些极值包括 计算π的5亿位。你甚至能从网上找到包含 π的一百亿位的文本文件(注意啦!下载这个文件可能得花一会儿时间,并且没法用你平时使用的记事本应用程序打开。)。对于我而言,如何用几行简单的python来计算π才是我的兴趣所在。
你总是可以 使用 math.pi 变量的 。它被 包含在 标准库中, 在你试图自己 计算它之前,你应该去使用它 。 事实上 , 我们将 用它来计算 精度 。作为 开始, 让我们看 一个 非常直截了当的 计算pi的 方法 。像往常一样,我将使用python 2.7,同样的想法和代码可能应用于不同的版本。我们将要使用的大部分算法来自pi wikipedia page并加以实现。让我们看看下面的代码:

importsys
importmath
defmain(argv):
iflen(argv) !=1:
sys.exit(‘usage: calc_pi.py ‘)
print’\ncomputing pi v.01\n’
a=1.0
b=1.0/math.sqrt(2)
t=1.0/4.0
p=1.0
foriinrange(int(sys.argv[1])):
at=(a+b)/2
bt=math.sqrt(a*b)
tt=t-p*(a-at)**2
pt=2*p
a=at;b=bt;t=tt;p=pt
my_pi=(a+b)**2/(4*t)
accuracy=100*(math.pi-my_pi)/my_pi
print”pi is approximately: “+str(my_pi)
print”accuracy with math.pi: “+str(accuracy)
if__name__==”__main__”:
main(sys.argv[1:])

这是个非常简单的脚本,你可以下载,运行,修改,和随意分享给别人。你能够看到类似下面的输出结果:

2015417113725870.png (347×591)

你会发现,尽管 n 大于4 ,我们逼近 pi 精度却没有多大的提升。 我们可以猜到即使 n的值更大,同样的事情(pi的逼近精度没有提升)依旧会发生。幸运的是,有不止一种方法来揭开这个谜。使用 python decimal (十进制)库,我们可以就可以得到更高精度的值来逼近pi。让我们来看看库函数是如何使用的。这个简化的版本,可以得到多于11位的数字 通常情况小python 浮点数给出的精度。下面是python decimal 库中的一个例子 :

wpid-python_decimal_example-2013-05-28-12-54.png

看到这些数字。不对! 我们输入的仅是 3.14,为什么我们得到了一些垃圾(junk)? 这是内存垃圾(memory junk)。 简单点说,python给你你想要的十进制数,再加上一点点额外的值。 只要精度小于垃圾数,它不会影响任何计算。通过设置getcontext().prec 你可以的到你想要的位数 。我们试试。

2015417113806473.png (480×82)

看到这些数字。不对! 我们输入的仅是 3.14,为什么我们得到了一些垃圾(junk)? 这是内存垃圾(memory junk)。 简单点说,python给你你想要的十进制数,再加上一点点额外的值。 只要精度小于垃圾数,它不会影响任何计算。通过设置getcontext().prec 你可以的到你想要的位数 。我们试试。

2015417113925777.png (321×52)

很好。 现在让我们 试着用这个 来 看看我们是否能 与我们以前的 代码 有更好的 逼近 。 现在, 我通常 是反对 使用“ from library import * ” , 但在这种情况下, 它会 使代码 看起来更漂亮 。

importsys
importmath
fromdecimalimport*
defmain(argv):
iflen(argv) !=1:
sys.exit(‘usage: calc_pi.py ‘)
print’\ncomputing pi v.01\n’
a=decimal(1.0)
b=decimal(1.0/math.sqrt(2))
t=decimal(1.0)/decimal(4.0)
p=decimal(1.0)
foriinrange(int(sys.argv[1])):
at=decimal((a+b)/2)
bt=decimal(math.sqrt(a*b))
tt=decimal(t-p*(a-at)**2)
pt=decimal(2*p)
a=at;b=bt;t=tt;p=pt
my_pi=(a+b)**2/(4*t)
accuracy=100*(decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi
print”pi is approximately: “+str(my_pi)
print”accuracy with math.pi: “+str(accuracy)
if__name__==”__main__”:
main(sys.argv[1:])

输出结果:

2015417113950921.png (436×456)

好了。我们更准确了,但看起来似乎有一些舍入。从n = 100和n = 1000,我们有相同的精度。现在怎么办?好吧,现在我们来求助于公式。到目前为止,我们计算pi的方式是通过对几部分加在一起。我从dan 的关于calculating pi 的文章中发现一些代码。他建议我们用以下3个公式:

bailey–borwein–plouffe 公式
bellard的公式
chudnovsky 算法

让我们从bailey–borwein–plouffe 公式开始。它看起来是这个样子:

2015417114019059.png (437×47)

在代码中我们可以这样编写它:

import sys
import math
from decimal import *
def bbp(n):
pi=decimal(0)
k=0
while k < n: pi+=(decimal(1)/(16**k))*((decimal(4)/(8*k+1))-(decimal(2)/(8*k+4))-(decimal(1)/(8*k+5))-(decimal(1)/(8*k+6))) k+=1 return pi def main(argv): if len(argv) !=2: sys.exit('usage: baileyborweinplouffe.py ') getcontext().prec=(int(sys.argv[1])) my_pi=bbp(int(sys.argv[2])) accuracy=100*(decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi print"pi is approximately "+str(my_pi) print"accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if __name__=="__main__": main(sys.argv[1:])

抛开“ 包装”的代码,bbp(n)的功能是你真正想要的。你给它越大的n和给 getcontext().prec 设置越大的值,你就会使计算越精确。让我们看看一些代码结果:

2015417114048612.png (943×261)

这有许多数字位。你可以看出,我们并没有比以前更准确。所以我们需要前进到下一个公式,贝拉公式,希望能获得更好的精度。它看起来像这样:

2015417114133666.png (405×50)

我们将只改变我们的变换公式,其余的代码将保持不变。点击这里下载python实现的贝拉公式。让我们看一看bellards(n):

def bellard(n):
pi=decimal(0)
k=0
while k < n: pi+=(decimal(-1)**k/(1024**k))*( decimal(256)/(10*k+1)+decimal(1)/(10*k+9)-decimal(64)/(10*k+3)-decimal(32)/(4*k+1)-decimal(4)/(10*k+5)-decimal(4)/(10*k+7)-decimal(1)/(4*k+3)) k+=1 pi=pi*1/(2**6) return pi

2015417114158607.png (949×227)

哦,不,我们得到的是同样的精度。好吧,让我们试试第三个公式, chudnovsky 算法,它看起来是这个样子:

2015417114248773.png (405×50)

再一次,让我们看一下这个计算公式(假设我们有一个阶乘公式)。 点击这里可下载用 python 实现的 chudnovsky 公式。

下面是程序和输出结果:

def chudnovsky(n):
pi=decimal(0)
k=0
while k < n: pi+=(decimal(-1)**k)*(decimal(factorial(6*k))/((factorial(k)**3)*(factorial(3*k)))*(13591409+545140134*k)/(640320**(3*k))) k+=1 pi=pi*decimal(10005).sqrt()/4270934400 pi=pi**(-1) return pi

2015417114314307.png (943×229)

所以我们有了什么结论?花哨的算法不会使机器浮点世界达到更高标准。我真的很期待能有一个比我们用求和公式时所能得到的更好的精度。我猜那是过分的要求。如果你真的需要用pi,就只需使用math.pi变量了。然而,作为乐趣和测试你的计算机真的能有多快,你总是可以尝试第一个计算出pi的百万位或者更多位是几。

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